632 共振回路：『電気回路の基礎』より抜粋
直列共振について，『電気回路の基礎』,西巻正郎, 森北出版, 2004 より抜粋した．
21.1 直列共振回路
図21.1のような，抵抗$ R_eと，リアクタンスとしてインダクタンス$ Lおよびキャパシタンス$ Cとが直列になった回路の周波数特性を考える．
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図21.1 直列共振回路
端子a,b間のインピーダンス$ \dot{Z}は次のようになる．
$ \dot{Z}=R_0+j\large(\omega L-\frac{1}{\omega_0 C}\large)j=R+jX[$ \Omega] ……(21.1)
すなわち，式(21.1)で$ X=0 となるときは， $ \omega =\omega_0 で，
$ W=\omega_0L-\frac{1}{\omega_0C}=0,\; \omega_0L=\frac{1}{\omega_0C} ……(21.2)
$ \therefore \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}} [ rad/s ] ……(21.3)
周波数は，
$ f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} [ Hz ]……(21.4)
となる．このときのインピーダンス$ \dot{Z}とアドミタンス$ \dot{Y}の値は，
$ \dot{Z}=R_0+j0=R_0\angle 0\degree [$ \Omega] ……(21.5)
$ \dot{Y}=\frac{1}{\dot{Z}}=\frac{1}{R_0}\angle 0\degree=\frac{1}{R_0}+j0 [ S ] ……(21.6)
図21.1の$ R_0-L-C直列回路で，電流が最大となるような点で，インピーダンス$ \dot{Z}が抵抗だけに見える状態は直列共振または単に共振とよばれる．そして，式(21.3)の$ \omega_0は京進各周波数，式(21.4)の$ f_0は共振周波数とよばれる．
共振状態での電流$ \dot{I}は，式(21.5)または式(21.6)から，
$ \dot{I}_0=\frac{\dot{V}_0}{R_0\angle 0\degree}=\frac{V_0\angle 0\degree}{R_0\angle 0\degree}=\frac{V_0}{R_0}\angle 0\degree [ A ] ……(21.7)
21.2 共振曲線
(前略)各周波数$ \omegaを横軸に，電流$ \dot{I}の大きさ$ Iを縦軸にとったグラフは図21.4のようになる．これは共振曲線とよばれる．
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図21.4 共振曲線
直列共振はいろいろな目的に利用されるが，そのとき，共振曲線の鋭さが重要な問題になる．この共振曲線の鋭さは，電流の大きさが最大値$ I_0(このとき$ \omega=\omega_0)の$ 1/\sqrt{2}倍(最大電力$ P_0(\omega=\omega_0の1/2倍)になるような二つの各周波数$ \omega_1と$ \omega_2との差を$ \varDelta \omegaとすると，次の関係で表すことができる．
$ \frac{\varDelta\omega}{\omega_0}または周波数で $ \frac{\varDelta f}{f_0} ……(21.8)
この$ \varDelta f/f_0を，比帯域幅，$ \varDelta fを半値幅とよび，式(21.8)の値が小さいほど共振曲線は鋭いわけである．
21.3 回路の$ Q値と共振曲線の鋭さ
(前略)コイルやコンデンサの回路要素としての質の良さを表すのに，次のような定義の$ Q値が用いられる．
コイルの質のよさ $ Q_L=\frac{\omega L}{r} ……(21.9)
コンデンサの質のよさ $ Q_C=\frac{\omega C}{g} ……(21.10)
コイルが$ Lと$ R_0，コンデンサが$ Cとして直列に接続された回路では(図21.1と同じ)，その共振各周波数$ \omega_0での$ Q_0値では，式(21.9)と式(21.3)から，次のように表わせる．
$ Q_0=\frac{\omega_0L}{R_0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\times\frac{L}{R_0}=\frac{1}{R_0}\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{1}{R_0\omega_0C} ……(21.11)
この$ Q_0値は共振回路の$ Q値と呼ばれる
$ Q_0値と共振曲線の鋭さを表わす式(21.8)の$ \varDelta\omega / \omega_0との間の関係を調べる．
図21.1の回路のインピーダンスの軌跡の一部を表わしている図21.6(略)で，リアクタンス$ X=\omega L-1/\omega Cがちょうど$ -R_0に等しくなる角周波数を$ \omega_1，$ +R_0に等しくなる$ \omegaを$ \omega_2とすれば，$ \omega_1, \omega_2ではインピーダンスの大きさは，$ Z=\sqrt{R_0^2+X^2}=\sqrt{R_0^2+R_0^2}=\sqrt{2}R_0になるから，電流の大きさ$ Iが次のように半値幅を決める値になる．
$ I=\frac{V_0}{\sqrt{2}R_0}=\frac{I_0}{\sqrt{2}} ……(21.12)
さて，インピーダンス$ \dot{Z}の式(21.1)は式(21.11)と式(21.3)を用いると，次のように表現することができる．
$ \dot{Z}=R_0+j\Big(\omega L-\frac{1}{\omega C}\Big)=\omega_0 L\bigg\{\frac{R_0}{\omega_0 L}+j\Big(\frac{\omega L}{\omega_0 L}-\frac{1}{\omega_0 L\omega C}\Big)\bigg\}
$ =\sqrt{\frac{L}{R}}\bigg\{\frac{1}{Q_0}+j\Big(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega}\Big)\bigg\}\equiv R+jX ……(21.13)
$ \omega = \omega_1で$ R=-X
$ \therefore \frac{1}{Q_0}=-\Big(\frac{\omega_1}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega_1}\Big) ……①
$ \omega = \omega_2で$ R=X
$ \therefore \frac{1}{Q_0}=\Big(\frac{\omega_2}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega_2}\Big) ……②
②－①
$ 0=\frac{\omega_2}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega_2}+\frac{\omega_1}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega_1}=\frac{\omega_1\omega_2^2-\omega_1\omega_0^2+\omega_1^2\omega_2-\omega_2\omega_0^2}{\omega_0\omega_1\omega_2}
$ =\frac{(\omega_1\omega_2+\omega_0^2)(\omega_2-\omega_1)}{\omega_0\omega_1\omega_2}
この式に式(21.14)と$ \varDelta\omega=\omega_2-\omega_1を代入すると，次のような関係が得られる．
$ \frac{2}{Q_0}=\frac{2\omega_1\omega_2\varDelta\omega}{\omega_0\omega_1\omega_2}=\frac{2\varDelta\omega}{\omega_0}, \therefore \frac{1}{Q_0}=\frac{\varDelta\omega}{\omega_0}=\frac{\varDelta f}{f_0} ……(21.15)
これは，半値幅は$ Q_0値に反比例し，$ Q_0が高いほど共振が鋭いことを意味している．
以上．
2024/4/8